Cas de limites infinies

Théorème  

Soit $(u_n)$ et  $(v_n)$ deux suites numériques telles que, à partir d'un certain rang, on a  $u_n⩽v_n$ .
          1. Si $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$ alors $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=+\mathrm{\infty }$ .
          2. S i $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=-\mathrm{\infty }$ alors $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=-\mathrm{\infty }$ .

Démonstration

1. Soit $(u_n)$ et  $(v_n)$ deux suites. Soit $A\in \mathbb{R}$ .

Par hypothèse, il existe un rang  $n_1$  tel que $\mathrm{\forall }n⩾n_1$ , on a $u_n⩽v_n$  c'est-à-dire  $v_n⩾u_n$ .

De plus,  $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$ donc   il existe un rang  $n_2$  tel que $\mathrm{\forall }n⩾n_2$ , on a $u_n⩾A$ .

On pose $n_0=max(n_1,n_2)$ .

$\mathrm{\forall }n⩾n_0$ , on a donc  $v_n⩾u_n⩾A$ .

Ainsi,  $[A;+\mathrm{\infty }[$ contient toutes les valeurs de  $v_n$ à partir d'un certain rang.

Conclusion :  $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=+\mathrm{\infty }$ .

2. La démonstration se fait de façon analogue.