Cas de limites infinies

Théorème  

Soit `(u_n)` et  `(v_n)` deux suites numériques telles que, à partir d'un certain rang, on a  \(u_n\leqslant v_n\) .
          1. Si \(\lim\limits_{n \to +\infty}{u_n}=+\infty\) alors \(\lim\limits_{n \to +\infty}{v_n}=+\infty\) .
          2. S i \(\lim\limits_{n \to +\infty}{v_n}=-\infty\) alors \(\lim\limits_{n \to +\infty}{u_n}=-\infty\) .

Démonstration

1. Soit `(u_n)` et  `(v_n)` deux suites. Soit `A \in \mathbb{R}` .

Par hypothèse, il existe un rang  `n_1`  tel que \(\forall n \geqslant n_1\) , on a \(u_n \leqslant v_n\)  c'est-à-dire  \(v_n \geqslant u_n\) .

De plus,  \(\lim\limits_{n \to +\infty}{u_n}=+\infty\) donc   il existe un rang  `n_2`  tel que \(\forall n \geqslant n_2\) , on a \(u_n \geqslant A\) .

On pose `n_0=max(n_1,n_2)` .

\(\forall n \geqslant n_0\) , on a donc  \(v_n \geqslant u_n \geqslant A\) .

Ainsi,  `[A;+\infty[` contient toutes les valeurs de  `v_n` à partir d'un certain rang.

Conclusion :  \(\lim\limits_{n \to +\infty}{v_n}=+\infty\) .

2. La démonstration se fait de façon analogue.